Kalender Imlek: September 2016

Sebuah Kalender Yang Bersumber dari Lo Shu (2205 S.M.)

Matematikawan Tiongkok kuno dengan segala kreatifitas dan imajinasinya berhasil membuat sistem penanggalan kuno berdasarkan Lo Shu (Bujur Sangkar Ajaib) yang berukuran 9 x 9. Pengembangan lebih lanjut dari Lo Shu yang asalnya berdimensi 3 x 3 menjadi Lo Shu dengan ukuran yang lebih besar (9 x 9, 81 x 81, dan seterusnya) ternyata membawa kita kepada apa yang saya sebut sebagai Deret Lo Shu.

Lo Shu atau Tulisan Sungai Lo (Gambar 1) ditemukan oleh Pandita Ratu Yu (2205 S.M.). Susunan angka-angka yang terdapat pada Lo Shu diperlihatkan oleh Gambar 2. Lo Shu mempunyai keunikan yaitu semua angka jika dijumlahkan dari segala arah, vertikal, horizontal, atau diagonal akan menghasilkan nilai 15. Dalam artikel ini, angka hasil penjumlahan tersebut saya namakan Angka Integritas.

Gambar 1. Tulisan Sungai Lo.

Gambar 2. Lo Shu (Bujur Sangkar Ajaib).

Susunan angka-angka yang terdapat pada Lo Shu mempunyai pengaruh penting didalam ilmu Feng Shui, Astrologi, dan Kosmologi oriental pada umumnya.

Baca seluruhnya...

1. Lo Shu 9 x 9.

Matematikawan Tiongkok kuno mengembangkan dimensi dari Lo Shu menjadi 9 x 9. Mula-mula mereka membuat bujursangkar berukuran 9 x 9, lalu mengisinya dengan angka mulai dari 1 sampai dengan 81 melalui cara yang unik seperti dibawah ini.

1.	Pasang 9 buah angka pertama (1,2,3,4,5,6,7,8,9) dalam susunan (urutan) yang serupa seperti Lo Shu pada Gambar 2. Masing-masing angka menduduki tempat "1" dari setiap anggota bujursangkar 3 x 3, seperti yang ditunjukan oleh Gambar 3.
2.	Pasang 9 buah angka kedua (10,11,12,13,14,15,16,17,18) dalam susunan (urutan) yang serupa seperti Lo Shu pada Gambar 2. Masing-masing angka menduduki tempat "2" dari setiap anggota bujursangkar 3 x 3, seperti yang ditunjukan oleh Gambar 4.
3.	Dengan cara yang sama angka-angka berikutnya yaitu 19 - 27, 28 - 36, 37 - 45, 46 - 54, 55 - 63, 64 - 72 dan 73 - 81 dipasang menempati masing-masing posisi "3", "4", "5", "6", "7", "8", dan "9". Hasilnya adalah seperti yang ditunjukan Gambar 5.



	4



	9



	2



	3



	5



	7



	8



	1



	6

Gambar 3. Langkah Pertama.

		13

	4

		18

	9

		11

	2

		12

	3

		14

	5

		16

	7

		17

	8

		10

	1

		15

	6

Gambar 4. Langkah Kedua.

Lo Shu berdimensi 9 ini mempunyai Angka Integritas yaitu jumlah semua angka-angka horizontal, vertikal, dan diagonal utamanya sama dengan 369. Jika dimensi Lo Shu ini dikembangkan menjadi 81 x 81, 6561 x 6561, dan seterusnya hingga 3^{2^N-1} x 3^{2^N-1}, dimana N = 1,2,3, dan seterusnya adalah integer positip, maka Angka-angka Integritas dari setiap dimensinya akan membentuk sebuah deret yang saya namakan Deret Lo Shu. Apakah deret ini mempunyai bentuk persamaan atau rumus umum? Jawaban dari pertanyaan ini kami tunda untuk sementara waktu dan akan dijawab setelah pembahasan mengenai sistem kalender Tiongkok kuno.

31	76	13
22	40	58
67	4	49

36	81	18
27	45	63
72	9	54

29	74	11
20	38	56
65	2	47

30	75	12
21	39	57
66	3	48

32	77	14
23	41	59
68	5	50

34	79	16
25	43	61
70	7	52

35	80	17
26	44	62
71	8	53

28	73	10
19	37	55
64	1	46

33	78	15
24	42	60
69	6	51

Gambar 5. Lo Shu 9 x 9.

Jika angka 369 dibagi dengan 9 hasilnya adalah angka 41 yang merupakan angka pusat dari Lo Shu 9 x 9. Jika dijit angka 4 dan 1 dijumlahkan (4 + 1) hasilnya adalah angka 5 yang menurut Yi Jing adalah angka milik Tanah (Bumi).

Keistimewaan lain dari bujursangkar 9 x 9 ini juga ditunjukan oleh dua dijit angka dalam setiap unitnya. Jika saling dijumlahkan maka akan dihasilkan dijit tunggal asalnya yang menguasai sub-bujursangkar 3 x 3. Misalnya "sub-bujursangkar 6" yang ada dipojok kanan bawah, 5 + 1 = 6, 6 + 9 = 15, yang mengecil menjadi 1 + 5 = 6, 6 + 0 = 6, 4 + 2 = 6, dan seterusnya.

2. Kalender Kuno

Sistem kalender Tiongkok kuno merupakan dasar dari sistem kalender yang sekarang diciptakan berdasarkan Lo Shu berdimensi 9 seperti yang akan dijelaskan dibawah ini.

Untuk setiap seratus angka dari 369 harus diambil 1 (atau seperseratusnya) untuk Langit (hal yang serupa terjadi dalam Metoda Tangkai Rumput Si). Jadi jumlah hari dalam setahun dapat dihitung seperti dibawah ini.

Kalender moderen yang kita gunakan sekarang ini mempunyai 365.242 hari dalam setahunnya. Hasil ini membawa kepada pembentukan penanggalan atau kalender seperti yang terlihat dalam Gambar 6.

Gambar 6. Kelender Kuno

Angka-angka pada lingkaran bagian dalam adalah angka-angka yang berasal dari Lo Shu 9 x 9. Kecuali angka pusat (41) yang dipasang dipusatnya lingkaran untuk melambangkan Tanah (Bumi). Angka-angka ini ditampilkan dalam urut-urutan yang pasti berdasarkan perlambangan semboyan San Cai (Langit-Bumi-Manusia) yang tersurat didalam Yi Jing. Jika angka 41 dan dua angka yang kedudukannya berlawanan secara diametral dijumlahkan maka akan diperoleh angka 123 yang melambangkan semboyan San Cai!

Angka-angka berdijit tunggal yang terdapat pada lingkaran bagian luar adalah reduksi dari angka lingkaran bagian dalamnya. Misalnya angka 5 muncul bilamana angka-angka lingkaran bagian dalam berasal dari sub-bujursangkar pusat.

Setiap angka pada lingkaran luar mewakili jumlah hari dalam setahun tertentu dengan aturan seperti berikut:

1.	Angka 5 mewakili 1 hari. Karena ada 8 buah maka dalam setahun ada 8 * 1 = 8 hari.
2.	Angka-angka yang terjepit (yang diberi tanda garis) mewakili 4 hari (seharusnya mewakili 4.3275 hari). Karena ada 4 buah maka dalam setahun ada 4 * 4 = 16 hari.
3.	Angka-angka yang berturutan mewakili 5 hari yaitu 3 hari Yang dan 2 hari Yin. Karena ada (80-8-4)= 68 buah maka dalam setahun ada 68 * 5 = 340 hari.
4.	Jadi masih terdapat kekurangan sebesar 365.31 - (8 + 16 + 340) = 1.31 hari dalam setahunnya.

Kekurangan 1 hari bisa dikoreksi dengan menyisipkan 1 hari tambahan kedalam penanggalan setiap tahunnya. Sedangkan kekurangan 0.31 hari per tahun boleh jadi dikoreksi dengan cara menyisipkan 1 hari dalam setiap 3 tahun sekali.

3. Lo Shu 81 x 81 dan 6561 x 6561

Dari penjelasan sebelumnya diketahui bahwa dimensi Lo Shu bisa dinyatakan dengan 3^{2^N-1} x 3^{2^N-1}. Pengembangan Lo Shu untuk N yang lebih besar dari 2 menjadi sulit jika harus dilakukan secara manual. Program yang dituliskan dalam bahasa (Visual) Basic dibawah ini merupakan program untuk membuat Lo Shu 81 x 81 atau N = 3.

Sub MagicSquare9to81()
Dim MS9(9, 9)
Dim MS81(81, 81)
Dim PX(81), PY(81)
Dim i, j, x, y, v
Dim SHORZ(81), SVERT(81)
Dim SDIAG1, SDIAG2

'Initialisasi Lo Shu 9 x 9
MS9(1, 1)= 31: MS9(1, 2)= 76: MS9(1, 3)= 13: MS9(1, 4)= 36: 
MS9(1, 5)= 81: MS9(1, 6)= 18: MS9(1, 7)= 29: MS9(1, 8)= 74: 
MS9(1, 9)= 11:
MS9(2, 1)= 22: MS9(2, 2)= 40: MS9(2, 3)= 58: MS9(2, 4)= 27: 
MS9(2, 5)= 45: MS9(2, 6)= 63: MS9(2, 7)= 20: MS9(2, 8)= 38: 
MS9(2, 9)= 56:
MS9(3, 1)= 67: MS9(3, 2)= 4: MS9(3, 3)= 49: MS9(3, 4)= 72: 
MS9(3, 5)=  9: MS9(3, 6)= 54: MS9(3, 7)= 65: MS9(3, 8)= 2: 
MS9(3, 9)= 47:
MS9(4, 1)= 30: MS9(4, 2)= 75: MS9(4, 3)= 12: MS9(4, 4)= 32: 
MS9(4, 5)= 77: MS9(4, 6)= 14: MS9(4, 7)= 34: MS9(4, 8)= 79: 
MS9(4, 9)= 16:
MS9(5, 1)= 21: MS9(5, 2)= 39: MS9(5, 3)= 57: MS9(5, 4)= 23: 
MS9(5, 5)= 41: MS9(5, 6)= 59: MS9(5, 7)= 25: MS9(5, 8)= 43: 
MS9(5, 9)= 61:
MS9(6, 1)= 66: MS9(6, 2)= 3: MS9(6, 3)= 48: MS9(6, 4)= 68: 
MS9(6, 5)=  5: MS9(6, 6)= 50: MS9(6, 7)= 70: MS9(6, 8)= 7: 
MS9(6, 9)= 52:
MS9(7, 1)= 35: MS9(7, 2)= 80: MS9(7, 3)= 17: MS9(7, 4)= 28: 
MS9(7, 5)= 73: MS9(7, 6)= 10: MS9(7, 7)= 33: MS9(7, 8)= 78: 
MS9(7, 9)= 15:
MS9(8, 1)= 26: MS9(8, 2)= 44: MS9(8, 3)= 62: MS9(8, 4)= 19: 
MS9(8, 5)= 37: MS9(8, 6)= 55: MS9(8, 7)= 24: MS9(8, 8)= 42: 
MS9(8, 9)= 60:
MS9(9, 1)= 71: MS9(9, 2)= 8: MS9(9, 3)= 53: MS9(9, 4)= 64: 
MS9(9, 5)=  1: MS9(9, 6)= 46: MS9(9, 7)= 69: MS9(9, 8)= 6: 
MS9(9, 9)= 51:

For v = 1 To 81
 For i = 1 To 9
  For j = 1 To 9
    If MS9(i, j) = v Then
       PX(v) = i: PY(v) = j
    End If
  Next j
 Next i
Next v

'Isi Lo Shu 81 x 81 
'dengan angka 1 s/d 6561
For i = 1 To 81
 For j = 1 To 81
  v = (i - 1) * 81 + j
  x = (PX(j) - 1) * 9 + PX(i)
  y = (PY(j) - 1) * 9 + PY(i)
  MS81(x, y) = v
 Next j
Next i

'Hitung jumlah angka vertikal 
'horisontal dan diagonal
For i = 1 To 81
For j = 1 To 81
 SVERT(i)= SVERT(i)+MS81(j, i)
 SHORZ(i)= SHORZ(i)+MS81(i, j)
 If i = j Then 
   SDIAG1= SDIAG1 + MS81(i, j)
 If (i + j) = 82 Then 
   SDIAG2= SDIAG2 + MS81(i, j)
Next j
Next i

'Periksa hasil
Debug.Print "DIAGONAL1 : " + CStr(SDIAG1)
Debug.Print "DIAGONAL2 : " + CStr(SDIAG2)
Debug.Print "HORIZONTAL : ";
For i = 1 To 81
     Debug.Print SHORZ(i);
Next i
Debug.Print: 
Debug.Print "VERTIKAL   : ";
For i = 1 To 81
     Debug.Print SVERT(i);
Next i

'Print ke file text
Open "LS.TXT" For Output As #1
For i = 1 To 81
 For j = 1 To 80
  Print #1, 
   CStr(MS81(i, j)) + vbTab;
 Next j
 Print #1, CStr(MS81(i, 81))
Next i
Close #1
End Sub

Output dari program diatas adalah Angka Integritas yang kami temukan besarnya adalah 265761 dan sebuah file teks yang berisikan matriks Lo Shu 81 x 81. Karena terlalu besar untuk ditampilkan maka kami gambarkan angka-angka yang menduduki 8 penjuru angin dan angka pusatnya saja seperti yang terlihat dalam Gambar 7.

Gambar 7. Perwakilan Lo Shu 81 x 81

Program dasar diatas bisa dengan mudah dimodifikasi untuk N = 4 tergantung dari besarnya memori terpasang dan kecepatan proses dari komputer. Dengan memodifikasi program diatas untuk N = 4 kami mendapatkan hasil Angka Integrasi sebesar 141214771521 dan perwakilan angka 8 penjuru anginnya diperlihatkan seperti dalam Gambar 8.

Gambar 8. Perwakilan Lo Shu 6561 x 6561

4. Deret Lo Shu dan Persamaan Umumnya

Dari N=1,2,3, dan 4 kami memperoleh empat buah Angka Integritas yang membentuk Deret Lo Shu seperti berikut.

15, 369, 265761, 141214771521, .....

Bagaimana bentuk persamaan umumnya? Untuk mencarinya perhatikan tabel dibawah ini.

N	Ukuran 3^{2^N-1}	Angka Integritas	Angka Selatan (Atas) 3^{2^N}	Angka Pusat	Angka Utara Bawah
1	3	15	9	5	1
2	9	369	81	41	1
3	81	265761	6561	3281	1
4	6561	141214771521	43046721	21523361	1

Dengan memeriksa secara cermat tabel diatas, fungsi atau rumus umum deret Lo Shu kami temukan seperti berikut:

Angka Integritas(N)	=	Ukuran	x	Angka Pusat
	=	Ukuran	x	(Angka Selatan + Angka Utara) / 2
	=	3^{2^N-1}	x	(3^{2^N} + 1) / 2
	=	(3^{3/2 x 2^N}	+	3^{1/2 x 2^N}) / 2

Untuk N = 5, Angka Integrasi(5)	=	(3^{3/2 x 2⁵}	+	3^{1/2 x 2⁵}) / 2
	=	(3^{3/2 x 32}	+	3^{1/2 x 32}) / 2
	=	(3⁴⁸	+	3¹⁶) / 2
	=	39883221538436276455041

Untuk N yang lebih besar dari 5 perhitungan menjadi semakin rumit karena pemrograman harus melibatkan operasi aritmatika berdijit besar. Bagi yang tertarik, rutin aritmatika dijit besar bisa diunduh dari www.di-mgt.com.au/crypto.html. Hasil lain yang menarik dicatat adalah kecuali untuk N = 1 maka penjumlahan dijit-dijit dari Angka Integritas akan senantiasa mereduksi menjadi 9. Rumus yang diperoleh, kecuali N, ternyata terbangun dari angka 1, 2 dan 3 saja.

5. Referensi

Kushi, Michio, Oriental Astrology, Kushi Institute Publications, Maryland, 1981.

Kalender Imlek

Friday, September 30, 2016